用Python实现斐波那契（Fibonacci）函数


            Fibonacci斐波那契数列，很简单，就是一个递归嘛，学任何编程语言可能都会做一下这个。

最近在玩Python，在粗略的看了一下Learning Python和Core Python之后，偶然发现网上有个帖子Python程序员的进化写的很有意思。于是打算仿照一篇，那篇帖子用了十余种方法完成一个阶乘函数，我在这里会用九种不同的风格写出一个Fibonacci函数。



要求很简单，输入n，输出第n个Fibonacci数，n为正整数



下面是这九种不同的风格：

1）第一次写程序的Python程序员：







def fib(n):

  return nth fibonacci number





说明：

第一次写程序的人往往遵循人类语言的语法而不是编程语言的语法，就拿我一个编程很猛的哥们来说，他写的第一个判断闰年的程序，里面直接是这么写的：如果year是闰年，输出year是闰年，否则year不是闰年。

2）刚学Python不久的的C程序员：







def fib(n):#{

 if n<=2 :

  return 1;

 else:

  return fib(n-1)+fib(n-2);

#}



说明：

在刚接触Python时，用缩进而非大括号的方式来划分程序块这种方式我是很不适应的，而且每个语句后面没有结束符，所以每次写完一个Python函数之后干的第一件事一般就是一边注释大括号，一边添加漏掉的冒号。

3）懒散的Python程序员：







def fib(n):

  return 1 and n<=2 or fib(n-1)+fib(n-2)



说明：

看了Learning Python之后，才知道Python没有三元操作符？，不过鉴于Python里bool值比较特殊（有点像C，非零即真，非空即真），再加上Python的逻辑语句也是支持短路求值（Short-Circuit Evaluation）的，这就可以写出一个仿？语句出来。

4）更懒的Python程序员：





 fib=lambda n:1 if n<=2 else fib(n-1)+fib(n-2)





说明：

lambda关键字我曾在C#和Scheme里面用过，Python里面的lambda比C#里简便，并很像Scheme里的用法，所以很快就适应了。在用Python Shell声明一些小函数时经常用这种写法。

5）刚学完数据结构的Python程序员：







def fib(n):

 x,y=0,1

 while(n):

  x,y,n=y,x+y,n-1

 return x



说明：

前面的Fibonacci函数都是树形递归的实现，哪怕是学一点算法就应该知道这种递归的低效了。在这里从树形递归改为对应的迭代可以把效率提升不少。

Python的元组赋值特性是我很喜欢的一个东东，这玩意可以把代码简化不少。举个例子，以前的tmp=a;a=b;b=tmp;可以直接用一句a,b=b,a实现，既简洁又明了。

6）正在修SICP课程的Python程序员：







def fib(n):

  def fib_iter(n,x,y):

   if n==0 : return x

   else : return fib_iter(n-1,y,x+y)



  return fib_iter(n,0,1)



说明：

在这里我使用了Scheme语言中很常见的尾递归（Tail-recursion）写法。Scheme里面没有迭代，但可以用不变量和尾递归来模拟迭代，从而实现相同的效果。不过我还不清楚Python有没有对尾递归做相应的优化，回头查一查。

PS：看过SICP的同学，一眼就能看出，这个程序其实就是SICP第一章里的一个例子。

7）好耍小聪明的Python程序员：







fib=lambda n,x=0,y=1:x if not n else f(n-1,y,x+y)



说明：

基本的逻辑和上面的例子一样，都是尾递归写法。主要的区别就是利用了Python提供的默认参数和三元操作符，从而把代码简化至一行。至于默认参数，学过C++的同学都知道这玩意，至于C#4.0也引入了这东东。

8）刚修完线性代数的Python程序员：







def fib(n):

 def m1(a,b):

  m=[[],[]]

  m[0].append(a[0][0]*b[0][0]+a[0][1]*b[1][0])

  m[0].append(a[0][0]*b[0][1]+a[0][1]*b[1][1])

  m[1].append(a[1][0]*b[0][0]+a[1][1]*b[1][0])

  m[1].append(a[1][0]*b[1][0]+a[1][1]*b[1][1])

  return m

 def m2(a,b):

  m=[]

  m.append(a[0][0]*b[0][0]+a[0][1]*b[1][0])

  m.append(a[1][0]*b[0][0]+a[1][1]*b[1][0])

  return m

 return m2(reduce(m1,[[[0,1],[1,1]] for i in range(n)]),[[0],[1]])[0]



说明：

这段代码就不像之前的代码那样清晰了，所以先介绍下原理（需要一点线性代数知识）：

首先看一下之前的迭代版本的Fibonacci函数，很容易可以发现存在一个变换：y->x, x+y->y。换一个角度，就是[x,y]->[y,x+y]。

在这里，我声明一个二元向量[x,y]T，它通过一个变换得到[y,x+y]T，可以很容易得到变换矩阵是[[1,0],[1,1]]，也就是说：[[1,0],[1,1]]*[x,y]T=[y,x+y]T

令二元矩阵A=[[1,0],[1,1]]，二元向量x=[0,1]T，容易知道Ax的结果就是下一个Fibonacci数值，即：

Ax=[fib(1),fib(2)]T

亦有：

Ax=[fib(2),fib(3)]T

………………

以此类推，可以得到：







A&#8319;x=[fib(n),fib(n-1)]T





也就是说可以通过对二元向量[0,1]T进行n次A变换，从而得到[fib(n),fib(n+1)]T，从而得到fib(n)。



在这里我定义了一个二元矩阵的相乘函数m1，以及一个在二元向量上的变换m2，然后利用reduce操作完成一个连乘操作得到A&#8319;x，最后得到fib(n)。

9）准备参加ACM比赛的Python程序员：







 

def fib(n):

 lhm=[[0,1],[1,1]]

 rhm=[[0],[1]]

 em=[[1,0],[0,1]]

 #multiply two matrixes

 def matrix_mul(lhm,rhm):

  #initialize an empty matrix filled with zero

  result=[[0 for i in range(len(rhm[0]))] for j in range(len(rhm))]

  #multiply loop

  for i in range(len(lhm)):

   for j in range(len(rhm[0])):

    for k in range(len(rhm)):

     result[i][j]+=lhm[i][k]*rhm[k][j]

  return result

 

 def matrix_square(mat):

  return matrix_mul(mat,mat)

 #quick transform

 def fib_iter(mat,n):

  if not n:

   return em

  elif(n%2):

   return matrix_mul(mat,fib_iter(mat,n-1))

  else:

   return matrix_square(fib_iter(mat,n/2))

 return matrix_mul(fib_iter(lhm,n),rhm)[0][0]







说明：



看过上一个fib函数就比较容易理解这一个版本了，这个版本同样采用了二元变换的方式求fib(n)。不过区别在于这个版本的复杂度是lgn，而上一个版本则是线性的。



这个版本的不同之处在于，它定义了一个矩阵的快速求幂操作fib_iter，原理很简单，可以类比自然数的快速求幂方法，所以这里就不多说了。



PS：虽然说是ACM版本，不过说实话我从来没参加过那玩意，毕竟自己算法太水了，那玩意又太高端……只能在这里YY一下鸟~



python中，最基本的那种递归（如下fib1)效率太低了，只要n数字大了运算时间就会很长；而通过将计算的指保存到一个dict中，后面计算时直接拿来使用，这种方式成为备忘(memo)，如下面的fib2函数所示，则会发现效率大大提高。

在n=10以内时，fib1和fab2运行时间都很短看不出差异，但当n=40时，就太明显了，fib1运行花了35秒，fab2运行只花费了0.00001秒。

n=40时，输出如下：





jay@jay-linux:~/workspace/python.git/py2014$ python fibonacci.py 

2014-10-16 16:28:35.176396

fib1(40)=102334155

2014-10-16 16:29:10.479953

fib2(40)=102334155

2014-10-16 16:29:10.480035





这两个计算Fibonacci数列的函数，如下：http://github.com/smilejay/python/blob/master/py2014/fibonacci.py





import datetime



def fib1(n):

  if n == 0:

    return 0

  elif n == 1:

    return 1

  else:

    return fib1(n - 1) + fib1(n - 2)

 

known = {0: 0, 1: 1}

 

def fib2(n):

  if n in known:

    return known[n]

 

  res = fib2(n - 1) + fib2(n - 2)

  known[n] = res

  return res



if __name__ == '__main__':

  n = 40

  print(datetime.datetime.now())

  print('fib1(%d)=%d' % (n, fib1(n)))

  print(datetime.datetime.now())

  print('fib2(%d)=%d' % (n, fib2(n)))

  print(datetime.datetime.now())







后记：



由于刚学习Python没多久，所以对其各种特性的掌握还不够熟练。与其说是我在用Python写程序，倒不如说我是在用C，C++，C#或是Scheme来写程序。至于传说中的Pythonic way，我现在还没有什么体会，毕竟还没用Python写过什么真正的程序。

Learning Python和Core Python都是不错的Python入门书籍，前者更适合没有编程基础的人阅读。

Python是最好的初学编程入门语言，没有之一。所以它可以取代Scheme成为MIT的计算机编程入门语言。