仅利用30行Python代码来展示X算法


            假如你对数独解法感兴趣，你可能听说过精确覆盖问题。给定全集 X 和 X 的子集的集合 Y ，存在一个 Y 的子集 Y*，使得 Y* 构成 X 的一种分割。

这儿有个Python写的例子。

 







X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

Y = {

  'A': [1, 4, 7],

  'B': [1, 4],

  'C': [4, 5, 7],

  'D': [3, 5, 6],

  'E': [2, 3, 6, 7],

  'F': [2, 7]}





这个例子的唯一解是['B', 'D', 'F']。

精确覆盖问题是NP完备（译注：指没有任何一个够快的方法可以在合理的时间内，意即多项式时间 找到答案）。X算法是由大牛高德纳发明并实现。他提出了一种高效的实现技术叫舞蹈链，使用双向链表来表示该问题的矩阵。

然而，舞蹈链实现起来可能相当繁琐，并且不易写地正确。接下来就是展示Python奇迹的时刻了！有天我决定用Python来编写X 算法，并且我想出了一个有趣的舞蹈链变种。

算法

主要的思路是使用字典来代替双向链表来表示矩阵。我们已经有了 Y。从它那我们能快速的访问每行的列元素。现在我们还需要生成行的反向表，换句话说就是能从列中快速访问行元素。为实现这个目的，我们把X转换为字典。在上述的例子中，它应该写为

 







X = {

  1: {'A', 'B'},

  2: {'E', 'F'},

  3: {'D', 'E'},

  4: {'A', 'B', 'C'},

  5: {'C', 'D'},

  6: {'D', 'E'},

  7: {'A', 'C', 'E', 'F'}}





眼尖的读者能注意到这跟Y的表示有轻微的不同。事实上，我们需要能快速删除和添加行到每列，这就是为什么我们使用集合。另一方面，高德纳没有提到这点，实际上整个算法中所有行是保持不变的。

以下是算法的代码。

 







def solve(X, Y, solution=[]):

  if not X:

    yield list(solution)

  else:

    c = min(X, key=lambda c: len(X[c]))

    for r in list(X[c]):

      solution.append(r)

      cols = select(X, Y, r)

      for s in solve(X, Y, solution):

        yield s

      deselect(X, Y, r, cols)

      solution.pop()

 

def select(X, Y, r):

  cols = []

  for j in Y[r]:

    for i in X[j]:

      for k in Y[i]:

        if k != j:

          X[k].remove(i)

    cols.append(X.pop(j))

  return cols

 

def deselect(X, Y, r, cols):

  for j in reversed(Y[r]):

    X[j] = cols.pop()

    for i in X[j]:

      for k in Y[i]:

        if k != j:

          X[k].add(i)





真的只有 30 行！

格式化输入

在解决实际问题前，我们需要将输入转换为上面描述的格式。可以这样简单处理







X = {j: set(filter(lambda i: j in Y[i], Y)) for j in X}





但这样太慢了。假如设 X 大小为 m，Y 的大小为 n，则迭代次数为 m*n。在这例子中的数独格子大小为 N，那需要 N^5 次。我们有更好的办法。

 







X = {j: set() for j in X}

for i in Y:

  for j in Y[i]:

    X[j].add(i)





这还是 O(m*n) 的复杂度，但是是最坏情况。平均情况下它的性能会好很多，因为它不需要遍历所有的空格位。在数独的例子中，矩阵中每行恰好有 4 个条目，无论大小，因此它有N^3的复杂度。

优点



      简单: 不需要构造复杂的数据结构，所有用到的结构Python都有提供。

      可读性: 上述第一个例子是直接从Wikipedia上的范例直接转录下来的！

      灵活性: 可以很简单得扩展来解决数独。



求解数独

我们需要做的就是把数独描述成精确覆盖问题。这里有完整的数独解法代码，它能处理任意大小，3×3，5×5，即使是2×3，所有代码少于100行，并包含doctest！（感谢Winfried Plappert 和 David Goodger的评论和建议）